Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=|2x﹣1|+|2x+5|，且f（x）≥m恒成立．
（Ⅰ）求m的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)m取最大值時(shí)，解關(guān)于x的不等式：|x﹣3|﹣2x≤2m﹣8．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）要使f（x）≥m恒成立，只需m≤f（x）min ．
由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，有|2x﹣1|+|2x+5|≥|（2x﹣1）+（2x+5）|=6，
即f（x）min=6，所以m≤6．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，m=6，所以原不等式化為|x﹣3|﹣2x≤4，即|x﹣3|≤4+2x，
得﹣4﹣2x≤x﹣3≤4+2x，轉(zhuǎn)化為 ，
化簡(jiǎn)，得 ，所以原不等式的解集為
【解析】對(duì)第（1）問，由m≤f（x）恒成立知，m≤f（x）min ， 只需求得f（x）的最小值即可．對(duì)第（2）問，先將m的值代入原不等式中，再變形為|x﹣3|≤4+2x，利用“|g（x）|≤h（x）﹣h（x）≤g（x）≤h（x）”，可得其解集．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用絕對(duì)值不等式的解法的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握含絕對(duì)值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào)．