Question

（2013•成都模擬）若函數f（x）在給定區間M上，存在正數t，使得對于任意x∈M，有x+t∈M，且f（x+t）≥f（x），則稱f（x）為M上的t級類增函數，則以下命題正確的是（　　）

• A．函數f(x)=

  4

  x

  +x是(1，+∞)上的1級類增函數
• B．函數f（x）=|log₂（x-1）|是（1，+∞）上的1級類增函數
• C．若函數f(x)=sinx+ax為[

  π

  2

  ，+∞)上的

  π

  3

  級類增函數，則實數a的最小值為2
• D．若函數f（x）=x²-3x為[1，+∞）上的t級類增函數，則實數t的取值范圍為[1，+∞）

Answer 1

分析：在A中，f（x+1）-f（x）=

4

x+1

+x+1-

4

x

-x=

4

x+1

-

4

x

+1≥0在（1，+∞）上不成立；在B中，f（x+1）-f（x）=|log₂x|-|log₂（x-1）|≥0在（1，+∞）上不成立；在C中，函數f（x）=sinx+ax為[

π

2

，+∞）上的

π

3

級類增函數，故

3

2

cosx+

π

3

a≥

1

2

sinx，所以實數a的最小值不為2；在D中，由f（x）=x²-3x為[1，+∞）上的t級類增函數，能導出實數t的取值范圍為[1，+∞）．

解答：解：∵f（x）=

4

x

+x，
∴f（x+1）-f（x）=

4

x+1

+x+1-

4

x

-x
=

4

x+1

-

4

x

+1≥0在（1，+∞）上不成立，
故A不正確；
∵f（x）=|log₂（x-1）|，
∴f（x+1）-f（x）=|log₂x|-|log₂（x-1）|≥0在（1，+∞）上不成立，
故B不正確；
∵函數f（x）=sinx+ax為[

π

2

，+∞）上的

π

3

級類增函數，
∴sin（x+

π

3

）+a（x+

π

3

）≥sinx+ax，
∴sinxcos

π

3

+cosxsin

π

3

+ax+

π

3

a≥sinx+ax，
∴

3

2

cosx+

π

3

a≥

1

2

sinx，
當x=

π

2

時，

π

3

a≥

1

2

，a≥

3

2π

，
∴實數a的最小值不為2，故C不正確；
∵f（x）=x²-3x為[1，+∞）上的t級類增函數，
∴（x+t）²-3（x+t）≥x²-3x，
∴2tx+t²-3t≥0，
t≥3-2x∈[1，+∞），
故D成立．
故選D．

點評：本題考查命題的真假判斷，是中檔題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．