Question

【題目】在四棱錐中，平面平面， ， ， 為中點， ， .

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：

（1）由并結合平面幾何知識可得．又由及平面平面可得平面，于是得，由線面垂直的判定定理可得平面，進而可得平面平面．（2）根據，建立以為坐標原點的空間直角坐標系，通過求出平面和平面法向量的夾角并結合圖形可得所求二面角的余弦值．

試題解析：

（1）由條件可知， ，

，

，

.

，且為中點，

.

∵， ， ，

平面.

又平面，

.

，

平面.

平面，

平面平面.

（2）由（1）知，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則， ， ， ，

∴， ， ， ，

設為平面的一個法向量，

由，得.

令，得.

同理可得平面的一個法向量．

∴.

由圖形知二面角為銳角，

∴二面角的余弦值為.