Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，，為其左、右頂點，為橢圓上除，外任意一點，若記直線，斜率分別為，.

（1）求證：為定值；

（2）若橢圓的長軸長為4，過點作兩條互相垂直的直線，，若恰好為與橢圓相交的弦的中點，求與橢圓相交的弦的中點的橫坐標.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析.

（2）.

【解析】分析：（1）由題意，，設，表示出，.，.然后又P在橢圓上可得，故 即可；（2）先得出橢圓方程：. 設與橢圓交點為，，與橢圓交點為，，代入橢圓方程作差可得，結合中點可得.故可得方程，聯立橢圓即可.

詳解：

（1）由題意，，設，

則，.

又在橢圓上，∴，；

∴

，

∵，∴為定值.

（2）∵，∴，，.

∴橢圓方程為.

設與橢圓交點為，，與橢圓交點為，，

則

②-①得：，

又，，∴.

∴，即.

∵，∴.

方程：，即.

由消去得.

∴，∴.

即與橢圓相交的弦的中點橫坐標為.