【題目】已知函數
，其中
為常數.
（1）當
時，討論
的單調性；
（2）當
時，求
的最大值.
【答案】（1）當
時，
在
上單調遞增；在
上單調遞減；
當
時，在
上單調遞增；
當
時，在
上單調遞增；在
上單調遞減.
（2）
.
【解析】試題分析：（1）由題
.分別討論當
，
，
三種情況下的單調性；
（2）∵
，
∴
在
上的最大值等價于在
上的最大值，
，記為
，
∴
， 討論的性質，可求的最大值.
試題解析：（1）對求導，得.
①當，即時，
或
時，
，單增，
時，
，單減；
②當時，即時，
，在
上單增；
③當時，即時，
或
時，
在
，
上單增，
時，，在
上單減.
綜上所述，當時，在
上單調遞增；在
上單調遞減；
當時，在上單調遞增；
當時，在
上單調遞增；在
上單調遞減.
（Ⅱ）∵，
∴在上的最大值等價于在上的最大值，
，記為，
∴，
由（Ⅰ）可知
時，在上單減，
，
∴
，從而在上單減，
∵
，∴在上單增，
∴
，
∴的最大值為.
快樂小博士鞏固與提高系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某綜藝節目為比較甲、乙兩名選手的各項能力(指標值滿分為5分，分值高者為優)，繪制了如圖所示的六維能力雷達圖，圖中點A表示甲的創造力指標值為4，點B表示乙的空間能力指標值為3，則下面敘述正確的是
A. 乙的記憶能力優于甲的記憶能力
B. 乙的創造力優于觀察能力
C. 甲的六大能力整體水平優于乙
D. 甲的六大能力中記憶能力最差
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
.
（1）若
，函數
圖象上是否存在兩條互相垂直的切線，若存在，求出這兩條切線；若不存在，說明理由.
（2）若函數在
上有零點，求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列
的前
項和為
,滿足
(
),數列
滿足
(
),且
（1）證明數列
為等差數列,并求數列
和
的通項公式;
（2）若
,求數列
的前
項和
;
（3）若
,數列
的前
項和為
,對任意的
,都有
,求實數
的取值范圍.
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