【題目】已知函數
.
（1）若函數
在區間
上無零點，求實數
的最小值；
（2）若對任意給定的
，在上方程
總存在不等的實根，求實數的取值范圍.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】試題分析：
求得
，分別研究函數
，討論當
時，
時，的情況即可得到實數
的最小值；
求出
，根據導函數的正負得到函數的單調區間，即可求出
的值域，方程
等價于
，求出的取值范圍，再根據
，即可求得結果
解析：（1）令
，則
①當時，
在
上為增函數，
在上為增函數
若
在上無零點，則
，即
解得
，∴
.
②當時，在上，
，∴
，
∴在上無零點.
由①②得，即實數的最小值為
（2）
當
時，
，函數單調遞增；
當
時，
，函數單調遞減；
又∵
∴函數在
的值域為
.
方程等價于
.
∴
又∵，∴
，∴
.
綜上所述，的取值范圍是
.
點睛:本題考查了函數的零點問題及結合等式求出參量的范圍，在解答零點問題時需要進行分類討論，求得最小值，在由等式求參量范圍時先求出值域，轉化為最值問題，從而求解，轉化是本題的關鍵。
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某高校設計了一個實驗學科的實驗考查方案:考生從6道備選題中一次性隨機抽取3題,按照題目要求獨立完成全部實驗操作.規定:至少正確完成其中2題的便可提交通過.已知6道備選題中考生甲有4題能正確完成,2題不能完成;考生乙每題正確完成的概率都是
,且每題正確完成與否互不影響.
(1)分別寫出甲、乙兩考生正確完成題數的概率分布列,并計算均值;
(2)試從兩位考生正確完成題數的均值及至少正確完成2題的概率分析比較兩位考生的實驗操作能力.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎，每次抽獎都是從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機摸出一個球，在摸出的2個球中，若都是紅球，則獲得一等獎；若只有1個紅球，則獲得二等獎；若沒有紅球，則不獲獎.
（1）求顧客抽獎1次能獲獎的概率；
（2）若某顧客有3次抽獎機會，記該顧客在3次抽獎中或一等獎的次數為
，求的分布列、數學期望和方差.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】[選修4—4：坐標系與參數方程]
在直角坐標系
中，曲線
的方程為
．以坐標原點為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
．
（1）求的直角坐標方程；
（2）若與有且僅有三個公共點，求的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】從一堆產品
正品與次品都多于2件
中任取2件，觀察正品件數和次品件數，則下列說法：
“恰好有1件次品”和“恰好2件都是次品”是互斥事件
“至少有1件正品”和“全是次品”是對立事件
“至少有1件正品”和“至少有1件次品”是互斥事件但不是對立事件
“至少有1件次品”和“全是正品”是互斥事件也是對立事件
其中正確的有______填序號．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知中心為坐標原點、焦點在坐標軸上的橢圓
經過點
和點
，直線
：
與橢圓交于不同的
，
兩點.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若橢圓上存在點
，使得四邊形
恰好為平行四邊形，求直線與坐標軸圍成的三角形面積的最小值以及此時
，
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設
是橢圓
的四個頂點，菱形
的面積與其內切圓面積分別為
， 
.橢圓
的內接
的重心(三條中線的交點)為坐標原點
.
(1)求橢圓
的方程；
(2) 
的面積是否為定值?若是，求出該定值，若不是，請說明理由.
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