Question

【題目】已知正項數列{an}的前n項和為Sn ， 且 是1與an的等差中項．
（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）設Tn為數列{ }的前n項和，證明： ＜Tn＜1（n∈N*）

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）n=1時，a1=1，
n≥2時，4Sn﹣1=（an﹣1+1）2 ，
又4Sn=（an+1）2 ，
兩式相減得：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，
∵an＞0，
∴an﹣an﹣1=2，
∴數列{an}是以1為首項，2為公差的等差數列，即an=2n﹣1．
（Ⅱ）由 = ﹣ ，
故Tn=（1﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ）=1﹣ ＜1
當n=1時，T1= ，
故 ＜Tn＜1（n∈N*）
【解析】（Ⅰ）n=1時，可求得a1=1；依題意，4Sn=（an+1）2 ， n≥2時，4Sn﹣1=（an﹣1+1）2 ， 二式相減，可得an﹣an﹣1=2，從而可求數{an}的通項公式；（Ⅱ）利用裂項法可求得 = ﹣ ，于是可求數列{ }的前n項和Tn ， 利用放縮法即可證明．
【考點精析】認真審題，首先需要了解數列的前n項和(數列{an}的前n項和sn與通項an的關系)，還要掌握數列的通項公式(如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式)的相關知識才是答題的關鍵．