Question

【題目】如圖，在三棱錐P﹣ABC中，AB=AC=PB=PC=10，PA=8，BC=12，點(diǎn)M在平面PBC內(nèi)，且AM=7，設(shè)異面直線AM與BC所成角為α，則cosα的最大值為（ ）

A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】A
【解析】解：取BC中點(diǎn)N，連結(jié)AN，PN，∵AB=AC=PB=PC=10，BC=12，∴AN=PN=8，
∵PA=8，∴△PAN是等邊三角形，∠ANP=60°．
∵AN⊥BC，PN⊥BC，∴∠ANP為二面角A﹣BC﹣P的平面角．
過A作AO⊥平面PBC，連結(jié)OM，則O為PN的中點(diǎn)，∴ON= PN=4，∴AO= =4 ．
∴OM= =1．∴M的軌跡是以O(shè)為圓心，以1為半徑的圓．
以平面PBC內(nèi)過O點(diǎn)平行于BC的直線為x軸，以PN為y軸，以O(shè)A為z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖．
則A（0，0，4 ），B（﹣6，4，0），C（6，4，0），設(shè)M（x，y，0），則x2+y2=1．
=（x，y，﹣4 ）， =（12，0，0）．| |=7，| |=12， =12x．
∴cosα= = = ．
∴當(dāng)x=1時，cosα取得最大值 ．
故選A．

【考點(diǎn)精析】掌握異面直線及其所成的角是解答本題的根本，需要知道異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn)，作另一條的平行線；2、補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系．