Question

【題目】已知函數的圖像在點處的切線方程為.

（1）求實數的值及函數的單調區間；

（2）當時，比較與（為自然對數的底數）的大小.

Answer 1

【答案】（1）函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為;（2）.

【解析】試題分析：（1）由 在上得及得 的值，得 的解析式，由得的增區間，由得的減區間；（2）利用函數的單調性結合其圖象可知：若 ，則必有一個小于，一個大于，不妨設，當時，結論顯然成立，當時， ，令，對函數求導，可得 即在 單調遞增，故 ，得，結合函數單調性可得結果。

（1）函數的定義域為， ，

因為的圖象在點處的切線方程為，

所以解得，所以.

所以，令，得，

當時， ， 單調遞增；

當時， ， 單調遞減.

所以函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

（2）當時， .證明如下：

因為時， 單調遞減，且，

又，當時， 單調遞增，且.

若，則必都大于，且必有一個小于，一個大于.

不妨設，當時，必有.

當時， ，

設，

則

因為，所以，故.

又，所以，所以在區間內單調遞增，

所以，所以.

因為， ，所以，

又因為在區間內單調遞增，

所以，即.

綜上，當時，.