Question

【題目】已知為橢圓的左右焦點，點為其上一點，且有.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過的直線與橢圓交于兩點，過與平行的直線與橢圓交于兩點，求四邊形的面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）;（2）.

【解析】試題分析：（1）由題意知橢圓焦點在 軸，可設(shè)其標準方程，由 得，由 在橢圓上可求得 ，即可得橢圓的方程；（2）由四邊形 是平行四邊形，得 ，設(shè)直線，聯(lián)立直線與橢圓得關(guān)于 的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系可求得 的值，進而得，由 令,由基本不等式得的最大值。

（1）設(shè)橢圓的標準方程為，

由已知得，∴，

又點在橢圓上，∴，

橢圓的標準方程為.

（2）由題意可知，四邊形為平行四邊形，∴，

設(shè)直線的方程為，且，

由得，

∴，

，

令，則， ，

又在上單調(diào)遞增，

∴，∴的最大值為，

所以的最大值為.