Question

已知函數，設曲線y＝f（x）在點（x_n，f（x_n））處的切線與x軸的交點為（x_n+1,0）（n ?N *），x₁＝4．
（Ⅰ）用表示x_n+1；
（Ⅱ）記a_n=lg，證明數列｛a_n｝成等比數列，并求數列｛x_n｝的通項公式；
（Ⅲ）若b_n＝x_n－2，試比較與的大小．

Answer 1

,,<

解：（Ⅰ）由題可得                    ．．．．．．．．．．．．．．．．2分
所以曲線在點處的切線方程是：．
即．                         ．．．．．．．．．．．．．．．4分
令，得，即．
顯然，∴．                  ．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（Ⅱ）由，知，同理．
　　　故．
從而，即．所以，數列成等比數列． ．．．8分
故，即，從而，
所以．                                ．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
∴ ；                                 ．．．．．．．．．．．12分
∴，              
故< ．                                              ．．．．．．．．．．．．14分