Question

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數方程為，（ 為參數），為曲線上的動點，動點滿足（且），點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程，并說明是什么曲線；

（2）在以坐標原點為極點，以軸的正半軸為極軸的極坐標系中， 點的極坐標為，射線與的異于極點的交點為，已知面積的最大值為，求的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2

【解析】分析：（1）設， ，根據，推出，代入到，消去參數即可求得曲線的方程及其表示的軌跡；（2）法1：先求出點的直角坐標，再求出直線的普通方程，再根據題設條件設點坐標為，然后根據兩點之間距離公式及三角函數的圖象與性質，結合面積的最大值為，即可求得的值；法2：將， 代入，即可求得，再根據三角形面積公式及三角函數的圖象與性質，結合面積的最大值為，即可求得的值.

詳解：（1）設， ，由得.

∴

∵在上

∴即（為參數），消去參數得.

∴曲線是以為圓心，以為半徑的圓.

（2）法1： 點的直角坐標為.

∴直線的普通方程為，即.

設點坐標為，則點到直線的距離.

∴當時，

∴的最大值為

∴.

法2：將， 代入并整理得： ，令得.

∴

∴

∴當時， 取得最大值，依題意，∴.