Question

（2006•西城區二模）在數列{a_n}中，a₁=1，an+1=1-

1

4an

，bn=

2

2an-1

，其中n∈N^*．
（1）求證：數列{b_n}是等差數列；
（2）求證：在數列{a_n}中對于任意的n∈N^*，都有a_n+1＜a_n；
（3）設cn=(

2

)bn，試問數列{c_n}中是否存在三項，它們可以構成等差數列？如果存在，求出這三項；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用等差數列的定義，證明b_n+1-b_n為常數即可；
（2）確定數列{a_n}的通項公式，作差比較，即可得到結論；
（3）利用反證法，假設在{c_n}中存在第m，p，q（m＜p＜q，且m，p，q∈N^*）項成等差數列，從而得出矛盾．

解答：（1）證明：bn+1-bn=

2

2an+1-1

-

2

2an-1

=2，
所以數列{b_n}是首項b1=

2

2a1-1

=2，公差為2的等差數列；
（2）證明：由（1）知b_n=2n，n∈N^*，
所以an=

n+1

2n

=

1

2

(1+

1

n

)，an+1=

1

2

(1+

1

n+1

)，
所以an+1-an=

1

2

(1+

1

n

)-

1

2

(1+

1

n+1

)=

1

2

(

1

n+1

-

1

n

)＜0．
即：對任意的n∈N^*，a_n+1＜a_n
（3）解：由（2）知，cn=(

2

)2n=2n，
假設在{c_n}中存在第m，p，q（m＜p＜q，且m，p，q∈N^*）項成等差數列，
則：2•2^P=2^m+2^q，∴2^p+1=2^m+2^q，∴2^p+1-m=2^q-m+1，
因為m，p，q∈N^*
所以2^p+1-m為偶數，2^q-m+1為奇數，兩者不可能相等，即假設不成立，
所以在數列{c_n}中不存在三項可以構成等差數列．

點評：本題考查等差數列的證明，考查數列的通項，考查反證法的運用，屬于中檔題．