Question

（2006•西城區二模）已知實數c≥0，曲線C：y=

x

與直線l：y=x-c的交點為P（異于原點O）．在曲線C上取一點P₁（x₁，y₁），過點P₁作P₁Q₁平行于x軸，交直線l于Q₁，過點Q₁作Q₁P₂平行于y軸，交曲線C于P₂（x₂，y₂）；接著過點P₂作P₂Q₂平行于x軸，交直線l于Q₂，過點Q₂作Q₂P₃平行于y軸，交曲線C于P₃（x₃，y₃）；如此下去，可得到點P₄（x₄，y₄），P₅（x₅，y₅），…，P_n（x_n，y_n），設點P坐標為(a，

a

)，x₁=b，0＜b＜a．
（1）試用c表示a，并證明a≥1；
（2）證明：x₂＞x₁，且x_n＜a（n∈N^*）；
（3）當c=0，b≥

1

2

時，求證：

n

k=1

xk+1-xk

xk+2

＜

4 2

2

(n，k∈N*)．

Answer 1

分析：（1）點P的坐標(a，

a

)滿足方程組

y= x y=x-c

，由 1+2c+

1+4c

≥2，可得 a≥1．
（2）由 x2-x1=

b

-b+a-

a

=(

a

-

b

)(

a

+

b

-1)，0＜b＜a，a≥1，可得
 (

a

-

b

)(

a

+

b

-1)＞0，即x₂＞x₁．用數學歸納法證明x_n＜a．
（3）當c=0時，xn=

x

1 2 n-1

=

x	( 1 2 )2 n-2

═

x	( 1 2 )n-1 1

=b(

1

2

)n-1，由

1

2

≤b＜1，可得 x_k單調遞增．當n≥1時，

1

xn+2

≤

4	2

，xn+1-x1＜1-

1

2

=

1

2

，
從而得到 

n

k=1

xk+1-xk

xk+2

≤

4	2

n

k=1

(xk+1-xk)=

4	2

(xn+1-x1)＜

4 2

2

(n，k∈N*)．

解答：（1）點P的坐標(a，

a

)滿足方程組

y= x y=x-c

，∴

a

=a-c，
解得

a

=

1+ 1+4c

2

平方，得a=

1

2

(1+2c+

1+4c

)，∵c≥0
∴1+2c+

1+4c

≥2，所以a≥1．
（2）由已知，得 P1(b，

b

)，Q1(

b

+c，

b

)，P2(

b

+c，

b +c

)，
即x₁=b，x2=

b

+c，x2-x1=

b

+c-b．   由（1）知c=a-

a

，
∴x2-x1=

b

-b+a-

a

=(

a

-

b

)(

a

+

b

-1)，∵0＜b＜a，a≥1，
∴(

a

-

b

)(

a

+

b

-1)＞0，即x₂＞x₁；
下面用數學歸納法證明x_n＜a（n∈N^*）：①當n=1時，x₁=b＜a；
②假設當n=k時，x_k＜a，則當n=k+1時，xk+1=yk+c=

xk

+c=

xk

+a-

a

＜a；
綜上，x_n＜a（n∈N^*）．
（3）當c=0時，

1

2

≤b＜a=1，xn+1=yn=

xn

(n∈N*)，∴xn=

x

1 2 n-1

=

x	( 1 2 )2 n-2

═

x	( 1 2 )n-1 1

=b(

1

2

)n-1，
∵

1

2

≤b＜1，∴x_k單調遞增．
∴當n≥1時，有xn+2=b(

1

2

)n+1≥b(

1

2

)2≥(

1

2

)(

1

2

)2=

1

4 2

，即

1

xn+2

≤

4	2

，
又

1

2

≤b=x1＜xn+1＜a=1，∴xn+1-x1＜1-

1

2

=

1

2

，
∴

n

k=1

xk+1-xk

xk+2

≤

4	2

n

k=1

(xk+1-xk)=

4	2

(xn+1-x1)＜

4 2

2

(n，k∈N*)．

點評：本題考查直線和圓錐曲線的綜合應用，用數學歸納法證明不等式，判斷P的坐標(a，

a

)滿足方程組

y= x y=x-c

，是解題的突破口．