Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：(a＞b＞0)過點，離心率為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若斜率為的直線l與橢圓C交于A，B兩點，試探究是否為定值？若是定值，則求出此定值；若不是定值，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）是定值，7

【解析】

（1）由離心率的值可設橢圓C的方程為，代入點的坐標即可求得c，從而求得橢圓方程；（2）設直線l的方程為y＝x＋n，A(x1，y1)，B(x2，y2)，用x1、x2表示OA2＋OB2，聯(lián)立直線方程與橢圓方程得到關于x的一元二次方程，韋達定理求出、，代入即可得解.

（1）由離心率，得a∶b∶c＝2∶∶1，

則可設橢圓C的方程為 ，

由點在橢圓C上，得，即c2＝1，

所以橢圓C的方程為

（2）設直線l的方程為y＝x＋n，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

所以OA2＋OB2＝＋3－+＋3－＝(＋)＋6.

由消去y得3x2＋2nx＋2n2－6＝0.

當Δ＞0時，x1＋x2＝－n，x1x2＝，

從而＝4，

所以OA2＋OB2＝7，為定值．