Question

如圖，在長方體AC₁中，AB=BC=2，AA1=

2

，點E、F分別是面A₁C₁、面BC₁的中心．
（1）求異面直線AF和BE所成的角；
（2）求直線AF和平面BEC所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）根據所給的長方體，以D為坐標原點DA、DC、DD₁為x，y，z軸建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，得出對應的向量的坐標，根據兩個向量的數量積為0，得到夾角．
（2）根據上一問做出的坐標系和點的坐標，寫出要用的點的坐標，設出平面的法向量，根據法向量與平面上的向量數量積等于0，得到一個法向量．

解答：解：（1）如圖，以D為坐標原點DA、DC、DD₁為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
則：A（2，0，0），F（1，2，

2

2

）
B（2，2，0），E（1，1，

2

），C（0，2，0）
∴

AF

=(-1，2，

2

2

)，

BE

=(-1，-1，

2

)，
∴

AF

•

BE

=1-2+1=0
所以AF和BE所成的角為90°，
（2）設平面BEC的一個法向量為

n

=(x，y，z)，又

BC

=(-2，0，0)，

BE

=(-1，-1，

2

)，
則：

n

•

BC

=-2x=0

n

•

BE

=-x-y+

2

z=0
∴x=0，令z=1，則：y=

2

∴

n

=(0，

2

，1)
∴cos＜

AF

，

n

＞=

AF • n

| AF |•| n |

=

5 2 2

22 2 × 3

=

5 33

33

設直線AF和平面BEC所成角為θ則：Sinθ=

5 33

33

∴cosθ=

2 66

33

即直線AF和平面BEC所成角的余弦值為

2 66

33

點評：本題考查兩條異面直線所成的角和線面角，本題解題的關鍵是建立坐標系，把理論的推導變成了數字的運算，從而降低了題目的難度．