Question

【題目】設函數f(x)＝ (a∈R)．

(1)若f(x)在x＝0處取得極值，確定a的值，并求此時曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；

(2)若f(x)在[3，＋∞)上為減函數，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）3x－ey＝0（2）

【解析】

（1）先根據極值定義得a的值，再根據導數幾何意義得切線斜率，最后根據點斜式得切線方程，（2）先求導數，解得導函數零點，根據條件得零點與3的關系，解分式不等式得a的取值范圍．

解　(1)對f(x)求導得

f′(x)＝

＝，

因為f(x)在x＝0處取得極值，所以f′(0)＝0，即a＝0.

當a＝0時，f(x)＝，f′(x)＝，故f(1)＝，f′(1)＝，從而f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為y－＝ (x－1)，化簡得3x－ey＝0.

(2)由(1)知f′(x)＝.

令g(x)＝－3x2＋(6－a)x＋a，

由g(x)＝0解得x1＝，

x2＝.

當x＜x1時，g(x)＜0，即f′(x)＜0，故f(x)為減函數；

當x1＜x＜x2時，g(x)＞0，即f′(x)＞0，故f(x)為增函數；

當x＞x2時，g(x)＜0，即f′(x)＜0，故f(x)為減函數．

由f(x)在[3，＋∞)上為減函數，知x2＝≤3，解得a≥－，

故a的取值范圍為.