Question

【題目】已知拋物線： 的焦點(diǎn)為，圓： .直線與拋物線交于點(diǎn)、兩點(diǎn)，與圓切于點(diǎn).

（1）當(dāng)切點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，求直線及圓的方程；

（2）當(dāng)時(shí)，證明： 是定值，并求出該定值.

Answer 1

【答案】（1）圓： ，直線： （或）；

或圓： ，直線： （或）.（2）定值為.

【解析】試題分析:（1）將代入圓方程，即可求得的值，根據(jù)圓的方程求得圓心，再根據(jù)直線的斜率公式求得的斜率，則直線的方程斜率為，利用直線的點(diǎn)斜式方程，即可求得的方程；

（2）將當(dāng)垂直與軸時(shí)，求得和點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)之間的斜率公式，即可求得的值；當(dāng)不垂直于軸時(shí)，由直線與圓相切，求得，將直線代入拋物線方程．利用韋達(dá)定理及弦長公式求得，利用拋物線的定義， ，即可求得是定值．

試題解析:

（1）把點(diǎn)代入圓的方程可得：

或.

（i）當(dāng)時(shí)，圓.∴圓心， ，

∴，∴的方程為： ，化簡得： .

（ii）當(dāng)時(shí)，圓，∴圓心， ，

∴，∴的方程為： ，化簡得： .

綜上所述，圓，直線（或）；

或圓，直線（或）.

（2）時(shí)，由（1）知，圓.

（i）當(dāng)垂直于軸時(shí)， ， ， ，

∴， .∴.

（ii）當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，設(shè)直線.

∵直線與圓相切.∴,∴, .

聯(lián)立直線與拋物線，得 .

∴ .

又∵， ，

∴

.

由拋物線的性質(zhì)可知， ，

∴，∴.

綜上所述， 是定值，且該定值為2.