Question

如圖，過點作拋物線 的切線，切點A在第二象限.

(1)求切點A的縱坐標;

(2)若離心率為的橢圓恰好經過切點A，設切線交橢圓的另一點為B，記切線，OA，OB的斜率分別為，求橢圓方程．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)    (Ⅱ)

【解析】本試題主要是結合了導數的幾何意義，得到直線的方程，以及運用設而不求的聯立方程組的思想求解得到斜率的關系式，從而得到求解。

（1）利用導數的幾何意義得到切點的橫坐標，從而得到縱坐標。

(2)因為離心率為的橢圓恰好經過切點A，設切線交橢圓的另一點為B，記切線，OA，OB的斜率分別為，借助于韋達定理求解橢圓方程．

解：(Ⅰ)設切點，且，

由切線的斜率為，

得的方程為，又點在上，，即點的縱坐標．…………5分

(Ⅱ)由(Ⅰ) 得，切線斜率，

設，切線方程為，由，得，…………7分

所以橢圓方程為，且過，…………9分

由，

，…………………11分

∴

將，代入得：，所以，

∴橢圓方程為．………………13分

OB的斜率分別為，求橢圓方程．