Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，，，側面SAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，且平面平面ABCD，M，N分別為AD，SC的中點．

（1）求證：平面SAB．

（2）求直線BN與平面SAB所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）取SB的中點H，連接AH與NH，由平面幾何的知識可得四邊形AHNM是平行四邊形，，再由線面平行的判定即可得證；

（2）設直線BN與平面SAB所成的角為，其中，點N到平面SAB的距離為d，由題意結合線面、面面位置關系的性質與判定可得，連接SM，由面面垂直的性質可得平面ABCD，進而可得，由余弦定理求得后，利用，即可得解.

（1）如圖，取SB的中點H，連接AH與NH，

∵M，N分別為AD，SC的中點，∴且，

∴，且，

∴四邊形AHNM是平行四邊形，，

∵平面SAB，平面SAB，∴平面SAB．

（2）設直線BN與平面SAB所成的角為，其中，點N到平面SAB的距離為d，

由（1）知平面SAB，則M到平面SAB的距離也是d，

∵平面平面ABCD，平面平面，，

∴平面SAD，又平面SAB，∴平面平面SAD，

又平面平面，平面SAD內的直線SD垂直于兩平面的交線SA，

∴平面SAB．

∵M是等腰直角三角形ADS斜邊AD的中點，所以M到平面SAB的距離d是DS的一半，

∵，∴，∴．

連接SM，CM，BM，

∵平面平面ABCD，平面SAD內的直線SM垂直兩平面的交線AD于點M，

∴平面ABCD．

由勾股定理易得，

∴，

在中，由余弦定理得，

∴，

∴，，

∴直線BN與平面SAB所成角的余弦值為．