Question

【題目】已知橢圓C1： =1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2 ， 其中F2也是拋物線C2：y2=4x的焦點，M是C1與C2在第一象限的交點，且
（I）求橢圓C1的方程；
（Ⅱ）已知菱形ABCD的頂點A、C在橢圓C1上，頂點B、D在直線7x﹣7y+1=0上，求直線AC的方程．

Answer 1

【答案】解：（I）設點M為（x1 ， y1），∵F2是拋物線y2=4x的焦點，
∴F2（1，0）；
又|MF2|= ，由拋物線定義知
x1+1= ，即x1= ；
由M是C1與C2的交點，
∴y12=4x1 ， 即y1=± ，這里取y1= ；
又點M（ ， ）在C1上，
∴ + =1，且b2=a2﹣1，
∴9a4﹣37a2+4=0，∴ （舍去），
∴a2=4，b2=3；
∴橢圓C1的方程為：
（II）∵直線BD的方程為：7x﹣7y+1=0，在菱形ABCD中，AC⊥BD，
不妨設直線AC的方程為x+y=m，
則
∴消去y，得7x2﹣8mx+4m2﹣12=0；
∵點A、C在橢圓C1上，
∴（﹣8m）2﹣4×7×（4m2﹣12）＞0，即m2＜7，∴﹣ ＜m＜ ；
設A（x1 ， y1），C（x2 ， y2），
則x1+x2= ，y1+y2=（﹣x1+m）+（﹣x2+m）=﹣（x1+x2）+2m=﹣ +2m= ，
∴AC的中點坐標為 ，
由菱形ABCD知，點 也在直線BD：7x﹣7y+1=0上，
即7× ﹣7× +1=0，∴m=﹣1，由m=﹣1∈ 知：
直線AC的方程為：x+y=﹣1，即x+y+1=0
【解析】（Ⅰ）設點M為（x1 ， y1），由F2是拋物線y2=4x的焦點，知F2（1，0）；|MF2|= ，由拋物線定義知x1+1= ，即x1= ；由M是C1與C2的交點，y12=4x1 ， 由此能求出橢圓C1的方程．（Ⅱ）直線BD的方程為：7x﹣7y+1=0，在菱形ABCD中，AC⊥BD，設直線AC的方程為x+y=m，由 ，得7x2﹣8mx+4m2﹣12=0．由點A、C在橢圓C1上，知（﹣8m）2﹣4×7×（4m2﹣12）＞0，由此能導出直線AC的方程．