Question

【題目】已知函數f（x）=ex（x2+ax+a）（a∈R） （Ⅰ）求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若a=﹣1，判斷f（x）是否存在最小值，并說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）的定義域為R．f'（x）=ex[x2+（a+2）x+2a]=ex（x+2）（x+a） 令f'（x）=0，得x1=﹣2，x2=﹣a
當﹣a=﹣2，即a=2時，f'（x）≥0恒成立，f（x）的單調增區間為（﹣∞，+∞），無單調減區間
當﹣a＜﹣2，即a＞2時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（﹣∞，﹣a）	﹣a	（﹣a，﹣2）	﹣2	（﹣2，+∞）
f'（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以，f（x）的單調增區間為（﹣∞，﹣a），（﹣2，+∞），單調減區間為（﹣a，﹣2）
當﹣a＞﹣2，即a＜2時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（﹣∞，﹣2）	﹣2	（﹣2，﹣a）	﹣a	（﹣a，+∞）
f'（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以，f（x）的單調增區間為（﹣∞，﹣2），（﹣a，+∞），單調減區間為（﹣2，﹣a）
（Ⅱ）f（x）有最小值，
∵a=﹣1，
∴f（x）=ex（x2﹣x﹣1）．
令f（x）=0得 ．
所以f（x）有兩個零點．
當 或 時，f（x）＞0，
當 時，f（x）＜0，
由（Ⅰ）可知，f（x）在（﹣∞，﹣2），（1，+∞）上單調增，在（﹣2，1）上單調減，
∴f（x）有最小值f（1）．
【解析】（Ⅰ）根據導數和函數的單調性的關系即可判斷，需要分類討論，（Ⅱ）根據導數和函數的最值得關系即可判斷．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．