Question

【題目】已知函數．

(1)若曲線在點處的切線與直線垂直，求實數的值；

(2)討論函數的單調性．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）當時，在上單調遞增，在上單調遞減；時，在上單調遞減，在上單調遞增.

【解析】分析：（1）現求出導函數，然后根據曲線在點處的切線與直線垂直，即可求解實數的值；

（2）確定函數的定義域，求導函數，利用導數的正負，分類討論，即可求得哈市的單調性．

詳解：(1)解：f(x)的定義域為{x|x>0}． ．

根據題意，有f′(1)＝－2，所以2a2－a－3＝0，解得a＝－1或a＝.

(2)解：　

當a>0時，因為x>0，由f′(x)>0得(x－a)(x＋2a)>0，解得x>a；由f′(x)<0得(x－a)(x＋2a)<0，解得0<x<a.

所以函數f(x)在(a，)上單調遞增，在(0，a)上單調遞減．

當a<0時，因為x>0，由f′(x)>0得(x－a)(x＋2a)>0，解得x>－2a；

由f′(x)<0得(x－a)(x＋2a)<0，解得0<x<－2a

所以函數f(x)在(0，－2a)上單調遞減，在(－2a，)上單調遞增．.

所以：當a>0時，f(x)在(a，)上單調遞增，在(0，a)上單調遞減．當a<0時，所以函數f(x)在(0，－2a)上單調遞減，在(－2a，)上單調遞增.