Question

【題目】已知函數．

（1）當時，求的單調區間．

（2）設直線是曲線的切線，若的斜率存在最小值-2，求的值，并求取得最小斜率時切線的方程．

（3）已知分別在，處取得極值，求證：．

Answer 1

【答案】（1）單調遞增區間為，；單調遞減區間為；（2），；（3）證明見解析．

【解析】

（1）由的正負可確定的單調區間；

（2）利用基本不等式可求得時，取得最小值，由導數的幾何意義可知，從而求得，求得切點坐標后，可得到切線方程；

（3）由極值點的定義可知是的兩個不等正根，由判別式大于零得到的取值范圍，同時得到韋達定理的形式；化簡為，結合的范圍可證得結論.

（1）由題意得：的定義域為，

當時，，

，

當和時，；當時，，

的單調遞增區間為，；單調遞減區間為.

（2），所以（當且僅當，即時取等號），

切線的斜率存在最小值，，解得：，

，即切點為，

從而切線方程，即：．

（3），

分別在，處取得極值，

，是方程，即的兩個不等正根．

則，解得：，且，．

，

，，

即不等式成立．