Question

【題目】如圖，在四棱錐中，側面底面，且， ， ， 是的中點．

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） 。

【解析】試題分析：（1）根據條件可得， 兩兩垂直，因此可建立空間直角坐標系，然后將平面的問題轉化成用向量證明， 的問題；（2）求出平面，平面的法向量，利用兩向量的夾角求出二面角的平面角。

試題解析：

（Ⅰ）證明：因為側面底面，且， ，

所以， ， ，

如圖，以點為坐標原點，分別以直線， ， 為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標系.

設， 是的中點，則有， ， ， ， ，

于是， ， ，

因為， ，

所以， ，且，

因此平面

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面的一個法向量為，

設平面的法向量為 ，

， ，

則 所以

不妨設，則 ，

，

由圖形知，二面角為鈍角，

所以二面角的余弦值為。