Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，若點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且是周長為的正三角形．

（1）求的方程；

（2）過點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)處的切線與交于點(diǎn)，求面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）4.

【解析】

（1）由是周長為12的等邊三角形知其邊長為4，根據(jù)拋物線的定義知，設(shè)準(zhǔn)線與軸交于，則，在中求得．

（2）首先分析出直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為：，代入拋物線方程得，設(shè)，則.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得點(diǎn)處切線方程為.令，可得,

從而得點(diǎn),求出到直線的距離，最后可表示出面積，再由不等式的性質(zhì)求得最小值．

（1）由是周長為12的等邊三角形，得，

又由拋物線的定義可得.

設(shè)準(zhǔn)線與軸交于，則，從而

在中，，即.

所以拋物線的方程為.

（2）依題意可知，直線的斜率存在，故設(shè)直線的方程為：，

聯(lián)立消去可得，.

設(shè)，則.

所以

.

由，得，

所以過點(diǎn)的切線方程為，

又，

所以切線方程可化為.

令，可得,

所以點(diǎn),

所以點(diǎn)到直線的距離，

所以，當(dāng)時(shí)，等號成立

所以面積的最小值為4.