Question

【題目】在四棱錐中，底面是等腰梯形,,是等邊三角形，點在上.且.

（I）證明:平面;

(Ⅱ)若平面⊥平面,求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析.

(Ⅱ)

【解析】試題分析：

（Ⅰ）連,交于點，連．在等腰梯形中，可得,故,又可得,故,因此,然后根據線面平行的判定可得結論成立．（Ⅱ）取中點，中點,連,可證得兩兩垂直，可建立空間直角坐標系．然后令設，進而確定出相關點的坐標，然后求得平面和平面的法向量，由兩法向量的夾角可得二面角的余弦值．

試題解析：

（Ⅰ）連,交于點，連.

∵在等腰梯形中，,

,

,

,

,

,

,

又平面，平面,

∴平面.

（Ⅱ）取中點，中點,連,顯然.又平面平面,平面平面,所以平面.由于分別為中點，且在等腰梯形中，,則．

以為原點建立下圖所示空間直角坐標系.

設，則

∴，

∴，

設平面的一個法向量為，

可得，

令，可得，則.

設平面的一個法向量為，

可得，

令，可得，則.

∴，

由圖形知，二面角為銳角，

∴二面角的余弦值為.