Question

（2012•江西模擬）已知函數f（x）=cosx（x∈（0，2π））有兩個不同的零點x₁，x₂，且方程f（x）=m有兩個不同的實根x₃，x₄，若把這個數按從小到大排列構成等差數列，則實數m的值為

-

3

2

．

Answer 1

分析：函數f（x）=cosx（x∈（0，2π））有兩個不同的零點x₁，x₂，可知x₁=

π

2

，x₂=

3

2

π，因為方程f（x）=m有兩個不同的實根x₃，x₄，若把這個數按從小到大排列構成等差數列，需要分兩種情況進行討論：m＞0和m＜0，再利用等差數列的性質進行求解；

解答：解：函數f（x）=cosx（x∈（0，2π））有兩個不同的零點x₁，x₂，
∴x₁=

π

2

，x₂=

3

2

π，∵方程f（x）=m有兩個不同的實根x₃，x₄，若把這個數按從小到大排列構成等差數列，
若m＞0則，x₃，

π

2

，

3

2

π，x₄，構成等差數列，可得公差d=

3π

2

-

π

2

=π，則x₁=

π

2

-π=-

π

2

＜0，顯然不可能；
若m＜0則，

π

2

，x₃，x₄，

3

2

π，構成等差數列，可得公差3d=

3π

2

-

π

2

，解得d=

π

3

，∴x₃=

π

2

+

π

3

，m=cosx₃=

5π

6

=-

3

2

，
故答案為：-

3

2

；

點評：此題主要考查三角函數的性質及三角函數值的求解問題，涉及函數的零點構成等差數列，解題過程中用到了分類討論的思想，是一道基礎題；