Question

（2012•江西模擬）過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右頂點A作斜率為-1的直線，該直線與雙曲線的兩條漸進線的交點分別為B、C．若

AB

=

1

2

BC

，則雙曲線的離心率是

5

．

Answer 1

分析：求出直線l和兩個漸近線的交點，進而表示出

AB

和

BC

，進而根據

AB

=

1

2

BC

求得a和b的關系，根據c²-a²=b²，求得a和c的關系，則離心率可得．

解答：解：直線l：y=-x+a與漸近線l₁：bx-ay=0交于B（

a2

a+b

，

ab

a+b

），
l與漸近線l₂：bx+ay=0交于C（

a2

a-b

，

-ab

a-b

），
∵A（a，0），
∴

AB

=（-

ab

a+b

，

ab

a+b

），

BC

=（

2a2b

a2-b2

，-

2a2b

a2-b2

），
∵

AB

=

1

2

BC

，
∴-

ab

a+b

=

a2b

a2-b2

，
∴b=2a，
∴c²-a²=4a²，
∴e²=

c2

a2

=5，∴e=

5

，
故答案為：

5

．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．要求學生有較高地轉化數學思想的運用能力，能將已知條件轉化到基本知識的運用．