Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）與直線x+y﹣1=0相交于A、B兩點(diǎn)，若a∈[ ， ]，且以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，則橢圓離心率e的取值范圍為 ．

Answer 1

【答案】（ ， ）
【解析】解：將x+y﹣1=0代入橢圓方程整理得（a2+b2）x2﹣2a2x+a2（1﹣b2）=0（﹡）
設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
則x1+x2= ，x1x2=
而y1y2=（1﹣x1）（1﹣x2）= ，
又∵OA⊥OB，
∴x1x2+y1y2=0，
∴ + =0，
∴a2+b2=2a2b2 ，
∴ =2，①
將b2=a2﹣c2 ， e= ，代入①得
2﹣e2=2a2（1﹣e2），
∴e2= =1﹣
∵a∈[ ， ]，
∴ ＜e2＜ ，
而0＜e＜1，
∴ ＜e＜ ，
所以答案是：（ ， ）．