Question

設函數f（x）=ax+

x

x-1

（x＞1），若a是從1，2，3三個數中任取一個數，b是從2，3，4，5四個數中任取一個數，求f（x）＞b恒成立的概率．

Answer 1

分析：先把f（x）的解析式變形，用分離常數法，然后用均值不等式求出最小值，本題是一個古典概型，試驗發生包含的所有事件是12個，滿足條件的事件是10個，列舉出結果．

解答：解：x＞1，a＞0，f(x)=ax+

x-1+1

x-1

=ax+

1

x-1

+1
=a(x-1)+

1

x-1

+1+a≥2

a

+1+a=(

a

+1)2，
當且僅當x=

1 a

+1＞1時，取“=”，∴f(x)min=(

a

+1)2，
于是f(x)＞b恒成立就轉化為(

a

+1)2＞b成立．
設事件A：“f（x）＞b恒成立”，則
基本事件總數為12個，即
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）；
（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；
（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）；
事件A包含事件：（1，2），（1，3）；
（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；
（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）共10個
由古典概型得P(A)=

10

12

=

5

6

．

點評：在使用古典概型的概率公式時，應該注意：（1）要判斷該概率模型是不是古典概型；（2）要找出隨機事件A包含的基本事件的個數和試驗中基本事件的總數；當解析式中含有分式，且分子分母是齊次的，注意運用分離常數法來進行式子的變形，在使用均值不等式應注意一定，二正，三相等．