Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB與△PAD都是等邊三角形．

（1）證明：PB⊥CD；
（2）求二面角A﹣PD﹣C的大小．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取BC的中點(diǎn)E，連接DE，可得四邊形ABED是正方形

過點(diǎn)P作PO⊥平面ABCD，垂足為O，連接OA、OB、OD、OE

∵△PAB與△PAD都是等邊三角形，∴PA=PB=PD，可得OA=OB=OD

因此，O是正方形ABED的對角線的交點(diǎn)，可得OE⊥OB

∵PO⊥平面ABCD，得直線OB是直線PB在內(nèi)的射影，∴OE⊥PB

∵△BCD中，E、O分別為BC、BD的中點(diǎn)，∴OE∥CD，可得PB⊥CD；

（2）解：由（1）知CD⊥PO，CD⊥PB

∵PO、PB是平面PBD內(nèi)的相交直線，∴CD⊥平面PBD

∵PD平面PBD，∴CD⊥PD

取PD的中點(diǎn)F，PC的中點(diǎn)G，連接FG，

則FG為△PCD有中位線，∴FG∥CD，可得FG⊥PD

連接AF，由△PAD是等邊三角形可得AF⊥PD，∴∠AFG為二面角A﹣PD﹣C的平面角

連接AG、EG，則EG∥PB

∵PB⊥OE，∴EG⊥OE，

設(shè)AB=2，則AE=2 ，EG= PB=1，故AG= =3

在△AFG中，F(xiàn)G= CD= ，AF= ，AG=3

∴cos∠AFG= =﹣ ，得∠AFG=π﹣arccos ，

即二面角A﹣PD﹣C的平面角大小是π﹣arccos ．

【解析】（1）取BC的中點(diǎn)E，連接DE，過點(diǎn)P作PO⊥平面ABCD于O，連接OA、OB、OD、OE．可證出四邊形ABED是正方形，且O為正方形ABED的中心．因此OE⊥OB，結(jié)合三垂線定理，證出OE⊥PB，而OE是△BCD的中位線，可得OE∥CD，因此PB⊥CD；（2）由（1）的結(jié)論，證出CD⊥平面PBD，從而得到CD⊥PD．取PD的中點(diǎn)F，PC的中點(diǎn)G，連接FG，可得FG∥CD，所以FG⊥PD．連接AF，可得AF⊥PD，因此∠AFG為二面角A﹣PD﹣C的平面角，連接AG、EG，則EG∥PB，可得EG⊥OE．設(shè)AB=2，可求出AE、EG、AG、AF和FG的長，最后在△AFG中利用余弦定理，算出∠AFG=π﹣arccos ，即得二面角A﹣PD﹣C的平面角大小．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線與平面垂直的性質(zhì)和共線向量與共面向量的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行；向量共線的充要條件：對于空間任意兩個(gè)向量，，的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使才能正確解答此題．