Question

（本題滿分14分）
已知函數
（1）若函數在上為增函數，求實數的取值范圍
（2）當時，求在上的最大值和最小值
（3）求證：對任意大于1的正整數，恒成立

Answer 1

（1）；（2），；（3）見解析。

試題分析：（1）先求出函數的導函數，把函數f（x）在[1，+∞）上為增函數轉化為導函
數大于等于0恒成立問題，再轉化為關于正實數a的不等式問題即可求出正實數a的取值范
圍；（2）先求出函數的導函數以及導數為0的根，進而求出其在[，2]上的單調性即可
求f（x）在[，2]上的最大值和最小值．（3）運用第一問的結論f(x)>0，放縮法得打對
數式的不等式，進而的求和證明。
解：（1）由已知得，依題意得對任意恒成立
即對任意恒成立，而
（2）當時，，令，得，若時，，若時，，故是函數在區間上的唯一的極小值，也是最小值，即，而，
由于，則
（3）當時，由（1）知在上為增函數
當，令，則，所以
即
所以
各式相加得
值與最小值是通過比較函數在（a，b）內所有極值與端點函數f（a），f（b） 比較而得到
的，以及利用單調性確定參數范圍，不等式的恒成立的證明。
點評：解決該試題的關鍵是第一問中根據單調遞增性，說明了在給定區間的導數恒大于等于
零，得到參數的取值范圍。第二問，先求解極值和端點值，比較大小得到結論。