Question

【題目】已知點P是長軸長為 的橢圓Q： 上異于頂點的一個動點，O為坐標原點，A為橢圓的右頂點，點M為線段PA的中點，且直線PA與OM的斜率之積恒為 ．
（1）求橢圓Q的方程；
（2）設過左焦點F1且不與坐標軸垂直的直線l交橢圓于C，D兩點，線段CD的垂直平分線與x軸交于點G，點G橫坐標的取值范圍是 ，求|CD|的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵橢圓Q的長軸長為 ，∴ ．

設P（x0，y0），

∵直線PA與OM的斜率之積恒為 ，∴ ，

∴ ，∴b=1，

故橢圓的方程為

（2）解：設直線l方程為y=k（x+1）（k≠0），代入 有（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，

設A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點N（x0，y0），

∴ ．

∴

∴CD的垂直平分線方程為 ，

令y=0，得

∵ ，∴ ，∴ ． = ，

【解析】（1）利用橢圓Q的長軸長為 ，求出 ．設P（x0 ， y0），通過直線PA與OM的斜率之積恒為 ，化簡求出b，即可得到橢圓方程．（2）設直線l方程為y=k（x+1）（k≠0），代入 有（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），AB中點N（x0 ， y0），利用韋達定理求出CD的垂直平分線方程，推出 ，利用弦長公式化簡，推出|CD|的最小值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解橢圓的標準方程(橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：)．