Question

【題目】已知函數

（1）當時，求函數的單調區間；

（2）若方程在區間(0,+)上有實數解，求實數a的取值范圍；

（3）若存在實數，且，使得，求證：．

Answer 1

【答案】（1）函數的單調減區間為和，單調增區間為．（2）（3）見解析

【解析】

試題分析：（1）時，,分段求出導函數，分別令求得的范圍，可得函數增區間，求得的范圍，可得函數的減區間；（2）設，則，所以在區間上有解，等價于在區間上有解，設，對利用導數研究函數的單調性，結合函數圖象及零點存在定理，即可得到符合題意的的取值范圍即可；（3）先排除的情況，到，利用導數研究函數的單調性，分別求出最大值與最小值，問題轉化為解得，所以.

試題解析：（1）當時，

當時，，則，

令，解得或（舍），所以時，，

所以函數在區間上為減函數.

當時，，，

令，解得，當時，，當時，，

所以函數在區間上為減函數，在區間上為增函數，

且.

綜上，函數的單調減區間為和，單調增區間為．

（2）設，則，所以，

由題意，在區間上有解，

等價于在區間上有解.

記，

則，

令，因為，所以，故解得，

當時，，當時，，

所以函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

故函數在處取得最小值.

要使方程在區間上有解，當且僅當，

綜上，滿足題意的實數a的取值范圍為.

（3）由題意，，

當時，，此時函數在上單調遞增，

由，可得，與條件矛盾，所以.

令，解得，

當時，，當時，，

所以函數在上單調遞減，在上單調遞增.

若存在，，則介于m，n之間，

不妨設，

因為在上單調遞減，在上單調遞增，且，

所以當時，，

由，，可得，故，

又在上單調遞減，且，所以．

所以，同理．

即解得，

所以.