Question

【題目】已知橢圓： 的離心率，過橢圓的左焦點且傾斜角為的直線與圓相交所得弦的長度為1.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線交橢圓于不同的兩點，設， ，其中為坐標原點.當以線段為直徑的圓恰好過點時，求證： 的面積為定值，并求出該定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）定值為，證明見解析.

【解析】試題分析：(I)借助題設條件建立方程組求解；(II)依據題設運用直線與橢圓的位置關系進行探求.

試題解析：

（Ⅰ）由題意知得，即. ①

因為直線過左焦點且傾斜角為30°可得直線方程為

又因為直線與圓相交弦長為1，

所以圓心到直線距離，

再由勾股定理得：②

由①②聯立可知

即橢圓方程為

（Ⅱ）（ⅰ）當直線的斜率不存在時，，因為以線段為直徑的圓過原點，所以，即，

所以，

即，③

又因為點在橢圓上，所以，④

把③代入④得： ，

所以.

（ⅱ）當直線的斜率存在時，設直線的方程為，

，

因為交于不同兩點，所以，

，即，

由韋達定理得： ，

由題意知即，又，

所以，

∴，

代入整理得.⑤

又

點到直線的距離，

所以

，⑥

將⑤代入⑥得，

綜上，三角形的面積為定值1.