Question

【題目】設函數．

（Ⅰ）若當時取得極值，求a的值及的單調區間；

（Ⅱ）若存在兩個極值點，，證明：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）．單調增區間為，單調減區間為．（Ⅱ）見解析

【解析】

（1）求導數，由題意可知為方程的根，求解值，再令導數，，分別求解單調增區間與單調減區間，即可.

（2）函數存在兩個極值點，等價于方程即在上有兩個不等實根，則，即可，再將變形整理為；若證明不等式，則需證明，由變形為，不妨設，即證，令，則，求函數的取值范圍，即可證明.

（Ⅰ）

∵時，取得極值，

∴，．

∴

由得或，

由得

∴的單調增區間為和，單調減區間為．

（Ⅱ）

∵存在兩個極值點，

∴方程即在上有兩個不等實根

∴且，

∴所證不等式等價于

即變形為

不妨設，即變形為

令，變形為，

令

則，

∴在上遞增．

∴，

∴成立，

∴成立．