Question

【題目】設(shè)函數(shù)，．

（1）當(dāng)時，函數(shù)有兩個極值點，求的取值范圍；

（2）若在點處的切線與軸平行，且函數(shù)在時，其圖象上每一點處切線的傾斜角均為銳角，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）求得導(dǎo)函數(shù)，題意說明有兩個零點，即有兩個解，或直線與函數(shù)的有兩個交點，可用導(dǎo)數(shù)研究的性質(zhì)（單調(diào)性，極值等），由零點存在定理即可得的范圍；

（2）首先題意說明，，從而有且，其次時，恒成立，因此的最小值大于0，這可由導(dǎo)數(shù)來研究，從而得出的范圍．

（1）當(dāng)時，，，

所以有兩個極值點就是方程有兩個解，

令，則.

當(dāng)時，在區(qū)間上恒成立，則此時單調(diào)遞增，

又為連續(xù)函數(shù)，由零點存在定理可知：

最多只有一個零點，也即最多只有一個解，不符合題意；

當(dāng)時，令，解得，

故在區(qū)間單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

，

若，即時，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可知：

此時，故無解，不符合題意；

若，即時，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可知：

此時，只有一個解，不符合題意；

若，即時，

又，，（最后進(jìn)行證明）

又，故由零點存在定理可知：

此時有兩個根，滿足題意.

綜上．

現(xiàn)證：，

令，故，

故在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

故，

即證.

（2）函數(shù)在點處的切線與軸平行，

所以且，因為，

所以且；

在時，

其圖象的每一點處的切線的傾斜角均為銳角，

即當(dāng)時，恒成立，即

，

令，∴

設(shè)，，

因為，所以，，∴，

∴在單調(diào)遞增，即在單調(diào)遞增，

∴，

當(dāng)且時，，

所以在單調(diào)遞增；

∴成立

當(dāng)，因為在單調(diào)遞增，

所以，

，

所以存在有；

當(dāng)時，，單調(diào)遞減，

所以有，不恒成立；

所以實數(shù)的取值范圍為．