Question

【題目】已知函數(shù).

（1）判斷函數(shù)的奇偶性并證明；

（2）用定義證明函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)：

（3）求函數(shù)在區(qū)間上的值域.

Answer 1

【答案】(1) 奇函數(shù) （2）證明見(jiàn)解析 （3）

【解析】

（1）直接由函數(shù)奇偶性的定義判斷的關(guān)系，可得出答案.
（2）由定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法任取，且，作差化簡(jiǎn)判斷符合，得出單調(diào)性結(jié)論.
(3)根據(jù)（2）的解題過(guò)程判斷出函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間，從而根據(jù)單調(diào)性得出函數(shù)的值域.

(1)由

所以有

所以為奇函數(shù).

(2) 任取，且.

則

由，

則，所以，

所以

即，所以

所以函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù).

(3)由（2）有在上是單調(diào)遞增函數(shù).

在（2）的證明過(guò)程中，若，則

則

所以，所以

所以函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù).

所以函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，在上是單調(diào)遞增函數(shù).

又.

所以函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>.