Question

【題目】已知函數f(x)對任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x＞0時，f(x)＜0， f(1)＝－2.

(1)求證:f(x)是奇函數；

(2)判斷函數的單調性

(3)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1） 見解析；（2）見解析；（3） 函數有最大值6，有最小值-6．

【解析】

（1）根據任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），利用賦值法構造奇偶性判斷的定義即可證明；（2）根據函數單調性的定義證法得到結果即可；（3）根據已知條件，利用賦值法得到函數的端點值，結合函數的單調性得到最值.

（1）因為，所以，所以，

而，因此，

所以 ，所以函數是奇函數；

（2）設，由，知，

因為，所以，又當時，，

所以，所以，所以，

（3）函數是定義域上的減函數，當時，函數有最值，

當時，函數有最大值，當時，函數有最大值，

，

，

所以當時，函數有最大值6，當時，函數有所有最小值-6.