Question

（滿分14分）已知一動圓M,恒過點F(1,0)，且總與直線相切,
（Ⅰ）求動圓圓心M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）在曲線C上是否存在異于原點的兩點,當時,直線AB恒過定點?若存在,求出定點坐標;若不存在,說明理由.

Answer 1

(1) ；(2)無論為何值,直線AB過定點(4,0) 。

(1)因為動圓M,過點F且與直線相切, 所以圓心M到F的距離等于到直線的距離.根據拋物線的定義可以確定點M的軌跡是拋物線，易求其方程.
（II）本小題屬于存在性命題，先假設存在A,B在上, 直線AB的方程:,即AB的方程為,然后根據,∴AB的方程為,從而可確定其所過定點.
解：(1) 因為動圓M,過點F且與直線相切,
所以圓心M到F的距離等于到直線的距離. …………2分
所以,點M的軌跡是以F為焦點, 為準線的拋物線,且,, ……4分
所以所求的軌跡方程為……………6分
(2) 假設存在A,B在上, …………7分  
∴直線AB的方程:, …………9分
即AB的方程為:, …………10分
即 …………11分
又∵∴AB的方程為，…………12分
令,得，所以,無論為何值,直線AB過定點(4,0) …………14分