Question

【題目】已知曲線C 的參數方程為 （α為參數），以直角坐標系原點O 為極點，x 軸正半軸為極軸建立極坐標系． （Ⅰ）求曲線C 的極坐標方程；
（Ⅱ）設l1：θ= ，l2：θ= ，若l 1、l2與曲線C 相交于異于原點的兩點 A、B，求△AOB的面積．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵曲線C的參數方程為 （α為參數），利用sin2α+cos2α=1， ， =y﹣1，可得：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．
∴曲線C的普通方程為（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．
將 代入并化簡得：ρ=4cosθ+2sinθ
即曲線C的極坐標方程為ρ=4cosθ+2sinθ．
（Ⅱ）解法一：在極坐標系中，C：ρ=4cosθ+2sinθ

∴由 得到 ；
同理 ．
又∵
∴ ．
即△AOB的面積為 ．
解法二：在平面直角坐標系中，C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5
l1：θ= ，l2：θ= ，可得 ，
∴由 得
∴
同理
∴ ，
又∵
∴
即△AOB的面積為 ．
【解析】（Ⅰ）將C參數方程化為普通方程，利用 代入，可得曲線C 的極坐標方程．（Ⅱ）法一：利用參數的幾何意義，求|OB|，|OA|，∠AOB=60°，即可求△AOB的面積，法二：在平面直角坐標系中，根據l1：θ= ，l2：θ= ，求出方程與圓C求解交點A和B，|OB|，|OA|，∠AOB=60°，即可求△AOB的面積，