Question

【題目】已知函數.

（1）討論的奇偶性；

（2）當時，求在的值域；

（3）若對任意，恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當時，為奇函數，當時，為非奇非偶函數；（2）；（3）或.

【解析】

（1）當a＝0時，利用定義判斷f（x）為奇函數；當a≠0時，利用特值判斷f（x）為非奇非偶函數；

（2）將a＝4代入，分類討論f（x）的取值范圍，最后綜合討論結果，可得答案；

（3）去絕對值，分離參數，轉化為基本不等式求最值即可

（1）當a＝0時，f（x）為奇函數；當a≠0時，f（x）為非奇非偶函數，理由如下：

當a＝0時，函數f（﹣x）＝﹣x |x|＝﹣f（x），此時，f（x）為奇函數．

當a≠0時，f（a）＝﹣a，f（﹣a）＝﹣2a|a|﹣a，f（a）≠f（﹣a），f（a）≠﹣f（﹣a），

此時f（x）既不是奇函數，也不是偶函數．

（2）當a＝4時，函數

當1≤x≤4時，f（x）＝4x﹣x2﹣4∈[﹣4，0]，

當5≥x＞4時，f（x）＝x2-4x-4∈[﹣4，1]，

綜上，當a＝4時，求f（x）的值域為[﹣4，1]，

（3）對任意的x∈[3,5],f(x)≥0恒成立轉化為|x-a|≥在x∈[3,5]上恒成立.

當a≤0時,顯然不等式恒成立.

當a>0時,|x-a|≥可化為x-a≥或x-a≤-,

由x-a≥得a≤=x+1+-2,

令g(x)=x+1+-2,則g(x)在x∈[3,5]上單調遞增,所以g(x)≥4+-2=,故a≤;

由x-a≤-得a≥=x-1++2,

令h(x)=x-1++2,則h(x)在x∈[3,5]上單調遞增,所以h(x)≤4++2=,故a≥.

綜上,實數a的取值范圍為或.