Question

某少數民族的刺繡有著悠久的歷史，下圖（1）、（2）、（3）、（4）為她們刺繡最簡單的四個圖案，這些圖案都由小正方形構成，小正方形數越多刺繡越漂亮，現按同樣的規律刺繡（小正方形的擺放規律相同），設第n個圖形包含個小正方形.

（Ⅰ）求出；
（Ⅱ）利用合情推理的“歸納推理思想”歸納出與的關系式，
（Ⅲ）根據你得到的關系式求的表達式.

Answer 1

（Ⅰ）41（Ⅱ）f(n+1)-f(n)=4n（Ⅲ）f(n)=2n²-2n+1

解析試題分析：（Ⅰ）先分別觀察給出正方體的個數為：1，1+4，1+4+8， 從而得出f（5）；
（Ⅱ）將（Ⅰ）總結一般性的規律：f（n+1）與f（n）的關系式，
（Ⅲ）再從總結出來的一般性的規律轉化為特殊的數列再求解即得．
試題解析：（Ⅰ）f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25,          2分
f(5)=25+4×4=41.                 4分
（Ⅱ）f(2)-f(1)=4=4×1. f(3)-f(2)=8=4×2,
f(4)-f(3)=12=4×3, f(5)-f(4)=16=4×4,             6分
由上式規律得出f(n+1)-f(n)=4n.        8分
（Ⅲ）f(2)-f(1)=4×1, f(3)-f(2)=4×2, f(4)-f(3)=4×3, f(n-1)-f(n-2)=4·(n-2), f(n)-f(n-1)=4·(n-1)   10分
f(n)-f(1)="4[1+2+" +（n-2）+（n-1)]=2(n-1)·n,
f(n)=2n²-2n+1                   12分
考點：歸納推理；進行簡單的合情推理．