Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=I(a＞0，b＞)的離心率為

3

，右焦點為F，過點M（1，0）且斜率為1的直線與雙曲線C交于A，B兩點，并且

FA

•

FB

=4．
（1）求雙曲線方程；
（2）過右焦點F作直線l交雙曲線C右支于P，Q兩點，問在原點與右頂點之間是否存在點N，使的無論直線l的傾斜角多大，都有∠PNF=∠QNF．

Answer 1

分析：（1）依題意可分別求得a和b，a和c的關系代入雙曲線的方程，設出A，B的坐標利用韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進而利用直線方程求得y₁y₂的表達式，進而利用

FA

•

FB

=4得關于a的方程求得a，則b可求．則橢圓的方程可得．

解答：解：（1）由題意知b²=2a²，c²=3a²，代入雙曲線得x²+2x-1-2a²=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有x₁+x₂=-2，x₁x₂=-2a²-1，y₁y₂=x₁x₂-（x₁+x₂）+1=-2a²+2．
又F(

3

a，0)，則

FA

=(x1-

3

a，y1)，

FB

=(x2-

3

a，y2)，
得

FA

•

FB

=x1x2-

3

a(x1+x2)+3a2+y1y2=4，
∴a2-2

3

a+3=0，
∴a=

3

，a2=3，b2=6，方程為

x2

3

-

y2

6

=1．
（2）直線l：y=k（x-3），(k≠

3

)．設P（x，y），Q（x₃，y₃），N（x₄，y₄），
聯立方程得（2-k²）x²+6k²x-9k²-6=0，
得x3+x4=

6k2

k2-2

，x3x4=

9k2+6

k2-2

，kPN=

k(x3-3)

x3-x

，kQN=

k(x4-3)

x4-x

．
∵∠PNF=∠QNF，
∴k_PN+k_QN=

k(x3-3)

x3-x

+

k(x4-3)

x4-x

=

k(8k2+12-18k2-12x)

(x3-x)(x4-x)(k2-2)

=0，
∴x=1， 0＜x＜

3

，所以存在點N．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生分析問題和推理能力，基本的運算能力．