Question

（2009•寧波模擬）已知雙曲線

x2

a

-

y2

a2+a+1

=1的離心率的范圍是數集M，設p：“k∈M”； q：“函數f（x）=

lg x-1 x-2   x＜1 2x-k       x≥1

的值域為R”．則P是Q成立的（　　）

A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件

Answer 1

分析：先求出雙曲線的離心率，利用基本不等式可求其范圍，從而可得數集M；先求分段函數的值域，從而利用充要條件的判斷方法，即可判斷．

解答：解：雙曲線

x2

a

-

y2

a2+a+1

=1的離心率為

a2+2a+1

a

=

a+ 1 a +2

∵a＞0
∴

a+ 1 a +2

≥2
∴M=[2，+∞）
當x＜1時，f(x)=lg

x-1

x-2

=lg(1+

1

x-2

)，
∵x＜1，∴x-2＜-1，∴-1＜

1

x-2

＜0，
∴0＜1+

1

x-2

＜1，∴f（x）＜0
當x≥1時，f（x）=2x-k≥2-k
∴若k≥2，則f（x）的值域為R；
若f（x）的值域為R，則2-k≤0，∴k≥2，
∴P是Q的充要條件
故選C．

點評：本題以充要條件為載體，考查雙曲線的離心率，考查分段函數的值域，解題的關鍵是求出相應的范圍．