Question

（2013•許昌三模）已知雙曲線c：

x2

a

-

y2

b

=1（a＞．，b＞0）的半焦距為c，過左焦點且斜率為1的直線與雙曲線C的左、右支各有一個交點，若拋物線y²=4cx的準(zhǔn)線被雙曲線截得的線段長大于

2 2

3

be²．（e為雙曲線c的離心率），則e的取值范同是

（

2

，

3

）

．

Answer 1

分析：拋物線y²=4cx的準(zhǔn)線正好經(jīng)過雙曲線C：

x2

a

-

y2

b

=1（a＞b＞0）的左焦點，準(zhǔn)線被雙曲線C截得的弦長為 2×

b2

a

，由2×

b2

a

＞

2 2

3

be²，得出a和c的關(guān)系，從而求出離心率的范圍．

解答：解：∵拋物線y²=4cx的準(zhǔn)線：x=-c，
它正好經(jīng)過雙曲線C：

x2

a

-

y2

b

=1（a＞b＞0）的左焦點，
∴準(zhǔn)線被雙曲線C截得的弦長為：2×

b2

a

，
∴2×

b2

a

＞

2 2

3

be²，即：

2

c²＜3ab，又c=

a2+b2

．
解得：e=

c

a

＜

3

，
又過焦點且斜率為1的直線與雙曲線C的左右兩支各有一個交點，
∴e＞

2

．
則e的取值范同是 （

2

，

3

）．
故答案為：（

2

，

3

）．

點評：本題考查直線方程、橢圓的方程、直線和橢圓的位置關(guān)系．由圓錐曲線的方程求焦點、離心率、雙曲線的三參數(shù)的關(guān)系：c²=a²+b²注意雙曲線與橢圓的區(qū)別．