Question

【題目】已知橢圓的焦距為,其上下頂點分別為,點.

（1）求橢圓的方程以及離心率；

（2）點的坐標為,過點的任意作直線與橢圓相交于兩點，設直線的斜率依次成等差數列，探究之間是否存在某種數量關系，若是請給出的關系式，并證明；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；(2).

【解析】

試題分析：（1）依題意，，求出的值，即可得到橢圓的方程；（2）①當直線的斜率不存在時，將直線與橢圓方程聯立，求得的坐標，利用，可得滿足的關系式；②當直線的斜率存在時，設直線的方程代入整理化簡，利用韋達定理及，可得的值從而可得滿足的關系式.

試題解析：（1）.又， 則橢圓方程為：.

（2）取，則

則滿足：.設直線，且，

，

，

而：，故滿足：.

考點:橢圓的集合性質；直線和橢圓的位置關系.