Question

（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EFPB交PB于點F
（1）、證明：PA∥平面DEB；
（2）、證明：PB平面EFD；
（3）、設(shè)PD=1，求DF的長。

Answer 1

（1）證明略
（2）證明略
（3） 

（1）連結(jié)AC交BD于O，由正方形ABCD得，O是AC的中點，又E是PC中點，∴EO∥PA，又PA平面DEB，OE平面DEB，∴PA∥平面DEB。
（2）側(cè)棱PD底面ABCD，∴ PD BC，底面ABCD是正方形∴CDBC，又PD∩CD=D，
∴BC平面PCD，DE平面PCD，∴BCDE，又由PD=DC，E是PC的中點得，DEPC，而PC∩BC=C，∴DE平面PCB，則DEPB，又EFPB，DE∩EF=E，所以PB平面EFD。
（3）由題意得DC=1，在正方形ABCD中，，由側(cè)棱PD底面ABCD得PDBD，由PB平面EFD得PB平面DF。則，所以，。