Question

如圖，四棱錐P—ABCD的底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點．
（Ⅰ）證明PA//平面BDE；
（Ⅱ）求二面角B—DE—C的平面角的余弦值；
（Ⅲ）在棱PB上是否存在點F，使PB⊥平面DEF？證明你的結論．

Answer 1

（Ⅰ）略
（Ⅱ）二面角B—DE—C的余弦值為
（Ⅲ）略

解：（Ⅰ）以D為坐標原點，分別以DA、DC、DP所在直線為x軸、
y軸、z軸建立空間直角坐標系，設PD=DC=2，則A（2，0，0），
P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0），

設 是平面BDE的一個法向量，

則由 
∵
（Ⅱ）由（Ⅰ）知是平面BDE的一個法向量，
又是平面DEC的一個法向量．
設二面角B—DE—C的平面角為，由圖可知
∴ 故二面角B—DE—C的余弦值為
（Ⅲ）∵ ∴
假設棱PB上存在點F，使PB⊥平面DEF，設，
則，
由 ∴
即在棱PB上存在點F，PB，使得PB⊥平面DEF